Genul de probleme cu bănci și elevi, vaze și flori, elevi și microscoape etc. au început să fie rezolvate încă din clasele primare, prin metoda figurativă (grafică). De exemplu, pentru propoziția „dacă se așază câte trei elevi într-o bancă….”, se desena un șir de căte trei bănci, iar la final se adăugau copiii care erau în plus sau, după caz, o bancă din care lipseau copii.
În clasele de gimnaziu, respectiv a șaptea și a opta, când problemele se rezolvă prin ecuații și sisteme de ecuații, nu vom mai desena nici bănci, nici elevi. Toate aceste probleme vor fi rezolvate prin două ecuații, folosing un algoritm simplu.
Primul pas este citirea textului problemei de minim două ori. Și vom lua ca exemplu problema 1, Sub III, de la Evaluarea Națională 2024.
Dacă elevii unei clase se așază câte 2 în fiecare bancă din laboratorul de fizică, atunci rămân 3 elevi în picioare. Dacă elevii se așază câte 4 în bancă, atunci rămân 5 bănci libere și o bancă în care stă un singur elev.
Avem două necunoscute în această problemă: câți elevi și câte bănci sunt.
Prima întrebare cere doar verificarea unor date. Se cere că verificăm dacă în acea clasă pot fi 30 de elevi. Hai să vedem prima propoziție. Dacă elevii se așază câte 2 într-o bancă, rămân 3 elevi în picioare. Așadar, la aranjarea lor câte doi, avem 3 copii în plus. Atunci hai să îi scădem din total pe acești trei copii: 30 – 3 = 27. Se presupune că acești 27 de copii pot fi aranjați câte doi într-o bancă. Dar știm bine că 27 nu este divizibil cu 2, deci nu este posibil să fie 30 de copii în clasă.
Iar pentru a doua cerință, indiferent dacă ni se cere să aflăm numărul de copii, de bănci sau ambele, pornim să ne scriem necunoscutele:
Putem nota cu e = elevii, iar b = băncile. Și avem așa: Dacă se așază câte 2 elevi într-o bancă, rămân 3 în picioare. Deci rămân 3 elevi în plus. Iar prima ecuație poate fi scris: e = 2b + 3. Adică numărul elevilor este egal cu dublul numărului băncilor, plus cei trei elevi care au rămas în picioare. A doua propoziție este: dacă elevii se așază câte 4 în bancă, atunci rămân 5 bănci libere și o bancă în care stă un singur elev. Hai să scriem matematic acest lucru: dacă se așază câte 4, începem să notăm numărul de elevi cu 4b. Dacă rămân 5 bănci libere, înseamnă că avem 5 bănci cu câte 4 locuri goale, adică 20 de locuri libere. Mai rămâna ultima bancă, în care stă un singur elev. Câți elevi lipsesc atunci din acea bancă, dacă ea trebuia să fie ocupată de 4 elevi? 4-1 = 3. Deci mai avem 3 locuri libere. Putem scrie a doua ecuație: e = 4b – 20 – 3, adică e = 4b – 23 (e fiind numărul de elevi și b numărul de bănci)
Hai să egalăm cele două bănci: 2b + 3 = 4b – 23 | -2b
3 = 2b – 23 |+23 => 2b = 26 |:2 => b = 13
Deci am rămas cu rezultatul b = 13, avem 13 bănci în clasă. Pentru a afla numărul de elevi, este suficient să înlocuim cu 13 numărul de bănci în oricare dintre ecuații: e = 2b + 3, deci e = 29. La finalul problemei trebuie să scrie soluțiile: 29 elevi și 13 bănci. Pentru a fi siguri că ați rezolvat corect, vă rog să faceți proba de verificare. Voi mai reveni cu acest tip de problemă, precum și cu altele care se rezolvă prin metodele aritmetice clasice, pe parcursul acestei veri.
