Inecuațiile reprezintă inegalitățile dintre doi termeni, spre diferență de ecuații, care sunt egalități între doi termeni. În cazul inecuațiilor, unul dintre termeni este mai mare, mai mic, mai mare sau egal sau mai mic sau egal cu celălalt termen. De exemplu, x > 3 înseamnă că termenul necunoscut poate fi orice număr strict mai mare decât 3. Este mult spus orice număr, pentru că atunci când vrem să știm, totuși, cam la ce ne raportăm când spunem acest lucru, trebuie să vedem în care mulțime trebuie rezolvată inecuația. Atunci când se cere a fi rezolvată o inecuație, se specifică și în care mulțime se lucrează, adică N, Z, Q, R, N*, Z* etc. În funcție de acest fapt, putem spune că x = {4, 5, 6, 7, ….} dacă x ϵ N, sau x ϵ (3, +∞) dacă x ϵ R.
În acest articol vom rezolva câteva inecuații în Z, adică mulțimea numerelor întregi. Data viitoare ne vom ocupa de inecuații în mulțimea numerelor reale, care au ca rezultat intervale de numere. Mulțimea numerelor întregi este studiată prima dată în clasa a VI-a, și tot atunci învățăm și că numerele mai mici decât 4, să spunem, nu sunt doar 3, 2, 1 și 0, ci mai avem și – 1, – 2, – 3, – 1000 etc. La soluțiile unei inecuații pot să apară foarte multe numere (uneori chiar o infinitate) dar nu le vom scrie pe toate, vom menționa doar câteva dintre acestea, urmate de (…). De exemplu, la x > 3, avem x = {4, 5, 6, 7, …. }, adică toate numerele de la 4 în sus. În cazul în care inecuația este x ≤ 5, este clar că soluțiile cuprind toate numerele întregi mai mici sau egale cu 5. Deci x = {5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, … }.
La fel ca în cazul ecuațiilor, și inecuațiile pot fi mai complexe, iar pașii de rezolvare a acestora sunt similari precum în cazul ecuațiilor.
a) x + 5 < 12 x < 12 – 5 x < 7 x = {6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2 …. }
b) 7(x + 5) > 14 x + 5 > 14 : 7 x + 5 > 2 x > 2 – 5 x > -3, deci x = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, … }
c) 2(5x – 2) < 7x – 16 (desfacem parantezele și mutăm convenabil termenii necunoscuți în stânga semnului de inegalitate și termenii numerici în dreapta): 10x – 7x < 4 – 16 / 3x < -12 / x < -4 / x = {-5, -6, -7, -8, ….. }
d) 3(2x – 5) ≤ 5(4x + 1) +22 / 6x – 15 ≤ 20x + 5 + 22 / 6x – 20x ≤ 27 + 15 / -14x ≤ 42 / x ≤ -3 deci x = {-3, -4, -5, -6, ….}.
Puțin mai dificile pot fi inecuațiile cu modul, dar asta doar la prima vedere. Pentru că, dacă scriem | x | < 3 înseamnă că toate valorile absolute ale lui x sunt mai mici decât trei, iar fiind vorba despre valorile absolute ale unor numere întregi, acestea vor fi numere naturale. Așadar, dacă | x | < 3, atunci | x | = {0, 1, 2}. De aici putem deduce că valorile lui x pot fi aceleași numere cu semn + sau -. Așadar, x = {-2, -1, 0, 1, 2}. Haideți să ne complicăm puțin cu trei inecuații cu modul:
a) |5x + 13| < 28 / -28 < 5x + 13 < 28 / -28 – 13 < 5x < 28 – 13 / -41 < 5x < 15 /:5 -8 ≤ x <3 (am schimbat primul semn de inegalitate deoarece -41 : 5 ne dă rezultat un număr mai mic de -8, deci și -8 poate fi soluție a inecuației) x = {-8, -7, -6, -5, ….., 0, 1, 2}
b) |7x – 29| ≤ 15 / -15 ≤ 7x – 29 ≤ 15 /+29 14 ≤ 7x ≤ 41 /:7 2 ≤ x <6 x = {2, 3, 4, 5}
c) |3x + 3| ≥ 6 / -6 ≥ 3x + 3, și 3x + 3 ≥ 6. (în acest cazul, rezolvăm separat cele două inecuații, ca să nu ne încurcăm)
c) 1) -6 ≥ 3x + 3 deci 3x + 3 ≤ -6 /-3 3x ≤ -9 /:3 x ≤ -3, adică x = {-3, -4, -5, -6, -7, … }, și
c) 2) 3x + 3 ≥ 6 /-3 3x ≥ 6 /:3 x ≥ 2, adică x = {2, 3, 4, 5, 6, ….. }.
Din cele două avem x = {-3, -4, -5, -6, -7, … } ∪ {2, 3, 4, 5, 6, ….. }.
Voi reveni și cu inecuații rezolvate în mulțimea numerelor reale.
